Food science, food industrial technology on blog

มาถึงบทความเพิ่มเติมการคำนวณของกระบวนการแปรรูปอาหารด้วยความร้อน ที่อยู่ในภาชนะบรรจุปิดสนิท ซึ่งในบทความนี้ผมจะเพิ่มเติมจากบทความเดิมที่เขียนไว้นิดเดียว โดยผู้อ่านสามารถอ่านทั้งสองบทความประกอบร่วมกันได้ เรามาดูกันนะครับว่าในการคำนวณด้วยวิธี General method นั้นมีความยากง่ายอย่างไร และมีจุดใดที่ควรจะสังเกต เพื่อให้ได้คำตอบที่คลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ในบทความนี้ผมจะแนะนำสองเทคนิค ได้แก่การหาพื้นที่ใต้กราฟโดยให้มองเป็นรูปทรงเรขาคณิตหลายรูปต่อกัน และการประยุกต์ใช้วิธีหาอินทิกรัลจำกัดเขตอย่าง Simpson's rule polynomial integration โดยผมจะเน้นตัวหลังนะครับ เพราะตัวแรกการนั้นเอาไว้ให้เด็กๆเขาเล่นกัน

สมการทั่วไปของการคำนวณด้วยวิธี General method

สำหรับค่า F₀ จากการคำนวณด้วยวิธี General method นั้น มีสมการทั่วไปคือ

โดยค่า L (Lethal rate) มาจากสูตร

เมื่อ T₀ คือ อุณหภูมิอ้างอิงในการฆ่าเชื้อ ส่วนค่า z ก็จะเป็นเรื่องของความทนทานของจุลินทรีย์มีมิติเป็นอุณหภูมิ สำหรับจุลินทรีย์ตัวแสบของอาหารกระป๋องอย่าง Clostridium botulinum จะมีค่า z =10^oC หรือ 18^oF

ซึ่งถ้าใครพอจะมีพื้นฐานเรื่องแคลคูลัส หรือพอจะจำได้บ้าง การทำอินทิเกรตจำกัดเขตนั้นสามารถที่จะนำไปใช้หาพื้นที่ใต้กราฟต่างๆได้

ซึ่งถ้าเป็นตัวอย่างที่มีการเก็บค่าอุณหภูมิอาหารในช่วงต่อนาที หรือวินาที เราสามารถที่จะนำค่า lethality ดังกล่าวมาทำการบวกตั้งแต่ต้นจนจบได้ทันที แบบในลิงค์นี้

การหาค่าพื้นที่ใต้กราฟกับค่า F₀

นี่คือโจทย์เก่าที่เราทิ้งไว้ในบทความที่แล้ว

จากข้อมูลข้างบนถ้าเราพลอทกราฟระหว่างอุณหภูมิอาหารกับเวลา และค่า lethal rate กับเวลา ออกมา ก็ควรจะได้ภาพตามนี้

สำหรับในตัวอย่างโจทย์ในตารางข้อมูลข้างต้นนี้ ถ้าเรากดเครื่องคิดเลขแล้ว sum ค่าlethal rate ทั้งหมดรวดเดียว จะได้คำตอบเท่ากับ 9.0903 นาที ซึ่งจะเป็นคำตอบที่ผิดเล็กน้อยครับ!! ในกรณีที่ไม่ได้เก็บค่านาทีต่อนาที เราไม่สามารถทำการบวกรวดเดียวได้ เนื่องจากจะเกิดความคลาดเคลื่อนอย่างน้อยๆก็สองช่วงครับ อธิบายอาจจะงง มาดูภาพกันดีกว่า

จากภาพข้างบนนะครับ ยิ่งเรากำหนด time interval กว้างๆ ก็จะทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนมากขึ้น ยิ่งค่า time interval ตรงนั้นเล็กเท่าไหร่ ก็จะยิ่งทำให้ความคลาดเคลื่อนน้อยลงด้วย ซึ่งก็เป็นหลักการพื้นฐานในการคำนวณด้วยระเบียบวิธีทางตัวเลขอื่นๆด้วย สำหรับตัวอย่างในข้อนี้ จุดแรกที่เกิดขึ้นได้ในกรณีที่เราSumแหลก ก็คือช่วงที่ค่า lethality หักหัวทิ่มลงหลังนาทีที่ 70 ซึ่งจะทำให้เกิดค่าความคลาดเคลื่อน เราจะได้ค่า F₀ ที่มากกว่าที่ควรจะเป็น ถ้าเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์เขาจะเรียกว่า ได้ค่าคลาดเคลื่อนไปจากผลเฉลยแม่นตรง

เมื่อจากการข้างต้น เราก็พอจะทราบแนวทางแล้วว่า ค่า F₀ ก็คือ พื้นที่ใต้กราฟระหว่างแกนเวลา กับ ค่า lethality(ซึ่งจะคิดต่อนาทีนั้นๆ) ซึ่งจะมีมิติเป็นเวลา เราก็ต้องหาวิธีใดๆก็ได้ที่จะใช้หาพื้นที่ใต้กราฟ สำหรับกรณีที่จำสูตรไม่ได้จริงๆ ก็ลองแบ่งภาคในแต่ละช่วงเวลาเป็นรูปทรงเรขาคณิต จะนั่งนอนมองสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมยังไงก็ได้ แล้วหาผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด ก็จะได้ค่า F₀ ทันทีเหมือนกัน

แต่ในบทความนี้ ผมจะสอนเน้นการหาพื้นที่ใต้กราฟตรงนั้นด้วยวิธี Simpson's rule polynomial integration ชื่ออาจจะดูอลังการ แต่วิธีการคำนวณก็ไม่ยากครับ

Simpson's rule polynomial integration

สำหรับที่มาของ 1/3 Simpson's rule จะมีที่มาจากการอินทิกรัลจำกัดเขตของเส้นโค้งกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งผมเคยเขียนพิสูจน์ทิ้งไว้เมื่อราวๆ5ปีก่อน ที่นี่ ในอนาคตก็คงจะดีไรฟ์ที่มาอีกรอบแล้วทำการแปะลงที่เว็บนี้เหมือนกัน นอกจากนั้นถ้าเราต้องการความแม่นยำเที่ยงตรง ก็จะมีตัว3/8 Simpson's rule ด้วยนะครับ ซึ่งก็มีที่มาจากการอินทิกรัลเส้นโค้งกำลังสาม แต่ในระดับนี้เรามาทำความเข้าใจวิธีการคำนวณด้วย 1/3 Simpson's rule polynomial integration กันก่อนนะครับ

สำหรับสูตรทั่วไป

ตัวแปรdt ก็คือ time interval ซึ่งในตัวอย่างตามบทความนี้ก็คือ 5นาทีนั่นเอง ส่วนข้อจำกัดของวิธีหาพื้นที่ด้วย Simpson's rule polynomial integration เราจำเป็นจะต้องแบ่งจำนวนช่วงทั้งหมดให้ได้เป็นเลขคู่เท่านั้น จึงจะเข้าสูตรได้ถูกต้อง และทำให้ได้ค่าคำตอบที่มีความคลาดเคลื่อนน้อย สำหรับวิธีการหาค่าจำนวนช่วงทั้งหมดก็ให้เอาระยะเวลาทั้งหมดเป็นตัวตั้งแล้วหารด้วยระยะเวลาต่อช่วง สำหรับตัวอย่างนี้จากเวลาเริ่มต้น 0 ไปถึงจบกระบวนการที่ 105 นาที แต่ละช่วงเวลามีค่าเท่ากับ 5นาที ดังนั้นเราก็จะได้จำนวนช่วงเป็น 21 ซึ่งไม่ตรงกับเงื่อนไขแรก

ดังนั้นจึงต้องใช้เทคนิค แ่บ่งคำนวณพื้นที่ใต้กราฟเป็นสองกราฟต่อกัน แยกคำนวณทีละรูปแล้วจึงค่อยเอามาบวกต่อกัน ในกรณีนี้ผมซึ่งถ้าเป็นการคำนวณหา lethal rate ตั้งแต่เวลาเริ่มต้น 0ถึง 70นาที จะได้ 14ช่วง ซึ่งจะตรงตามข้อกำหนดของเงื่อนไขในการใช้ Simpson's Rule Integration และคิดอีกช่วงในช่วงทำเย็น ตั้งแต่นาทีที่ 70 ซึ่งจากข้อมูลจะเป็นจุดที่อุณหภูมิหม้อฆ่าเชื้อเริ่มตก จนถึงนาที 105 แล้วบวกปิดท้ายสูตรด้วย 0 ก็จะตรงตามเงื่อนไขของ Simpson's Rule Integration

ดูตารางการคำนวณนะครับ ในชีวิตจริงผมใช้ Microsoft Excel คำนวณ ไม่มานั่งกดเอง เนื่องจากกลัวกดผิด

เวลา	อุณหภูมิจุดร้อนช้า	lethal rate	L	4L	2L	L
0	140	0.0000	0.0000
5	140	0.0000		0.0000
10	140	0.0000			0.0000
15	142.6	0.0000		0.0000
20	158	0.0000			0.0000
25	175	0.0001		0.0003
30	192	0.0006			0.0012
35	206.6	0.0039		0.0155
40	220.4	0.0227			0.0454
45	229.4	0.0717		0.2868
50	233.6	0.1227			0.2454
55	237	0.1896		0.7583
60	239.6	0.2644			0.5288
65	241	0.3162		1.2649
70 *ปิดไอน้ำ	241	0.3162	0.3162			0.3162
75	239.6	0.2644		1.0575
80	237	0.1896			0.3791
85	226	0.0464		0.1857
90	213	0.0088			0.0176
95	194	0.0008		0.0031
100	173	0.0001			0.0001
105	153	0.0000		0.0000
						0
ผลรวมlethal rate			0.3162	3.5721	1.2176	0.3162	5.4221
F0เท่ากับ							9.0369

ถ้าใครดูตารางไม่ออก ชอบเข้าสมการก็ดูตามนี้ครับ โดยหาค่า Lethal rate ในแต่ละช่วงออกมาก่อน แล้ววางในตำแหน่งคู่สลับคี่ตามสูตร

ช่วงให้ความร้อน

L₀ = 0.0

4_L = 4[0.0 +0.0 +0.0 +0.0001 +0.0039 +0.0717 +0.1896 + 0.3162]

2_L = 2[0.0 +0.0 +0.0006 +0.0227 +0.1227 +0.2644]

L_i = 0.3162

ผลรวม Lethal rate ในช่วงให้ความร้อนมีค่า 3.4628นาที

และช่วงทำเย็น

L₀ = 0.3162

4_L = 4[0.2644 +0.0464 +0.003 +0.0]

2_L = 2[0.3791 +0.0176 +0.0001]

L_i = 0.0

ผลรวม Lethal rate ในช่วงทำเย็นมีค่า 1.9593นาที

รวม Lethal rate ทั้งสองช่วงเท่ากับ 3.4628 + 1.9593 = 5.4221 นาที

ดังนั้นค่า F₀ จะเท่ากับ

จากการคำนวณทั้งในตาราง และเข้าสูตร เราควรจะได้ค่า F₀ เท่ากับ 9.0369นาที คลาดเคลื่อนได้นิดหน่อยจากการปัดเศษ ส่วนในตอนต่อไป ผมจะมาอธิบายการว่าการคำนวณหาค่า F₀ ที่ดูจะแสนง่ายด้วยวิธี General method นี้ สามารถใช้ประยุกต์ปรับเปลี่ยน วางแผนเพื่อยืด-หด ระยะเวลาในการฆ่าเชื้ออาหารด้วยความร้อน ในกรณีที่มีการเปลี่ยนกำหนดการฆ่าเชื้อที่วางแผนไว้แต่แรกได้ด้วยนะเออ