Food science, food industrial technology on blog

ในการวิเคราะห์ทางความร้อน สมการพื้นฐานที่มีบทบาทสำคัญ คือ สมการกระจายความร้อน (Diffusion equation) ซึ่งมีรูปทั่วไปคือ 

.....1)

ในการวิเคราะห์การไหลของความร้อน เราจำเป็นต้องกำหนดปริมาตรควบคุม(Control volume) เพื่อสร้างขอบเขตของสมมติฐานในการศึกษาดังตัวอย่างในรูปที่ 1

รูปที่ 1 การสร้างปริมาตรควบคุม และแสดงทิศทางการไหลของความร้อน 3 มิติ(x,y,z)

ขั้นตอนในการดีไรฟ์สมการอาศัยกฏข้อที่ 1 ของเทอร์โมไดนามิคส์ คือ

E_in + E_g - E_out = E_st

รูปที่ 2 แผนภาพกฎทรงพลังงาน

จากการกำหนดปริมาตรควบคุม เราจะได้ว่าพลังงานเข้า (E_in)ทั้งสามมิติคือ q_x , q_yและ q_z ดังนั้นจะได้ E_inคือ

.....2)

ส่วนพลังงานขาออก(E_out)เมื่อค่าq_x , q_yและ q_z ผ่านระยะ dx, dy,dz จะอาศัยการกระจายด้วยอนุกรมของเทย์เลอร์ เราจะได้ค่า q_x+dx , q_y+dyและ q_z+dz ดังนี้คือ

.....3)

.....4)

.....5)

ดังนั้นพลังงานขาออกรวมของระบบ 3 มิติ คือ

.....6)

ส่วนพลังงานก่อกำเนิดหรือ E_g ซึ่งเกิดเมื่อมีการส่งถ่ายพลังงานเข้าไปในระบบ แล้วปลดปล่อยพลังงานในรูปของพลังงานเคมี, พลังงานไฟฟ้า, พลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และ พลังงานนิวเคลียร์ เป็นต้น สามารถแสดงในรูปสมการภายใต้ปริมาตรควบคุมที่ศึกษา 3 มิติได้ดังนี้

.....7)

โดย จุดบน q หมายถึง พลังงานคิดต่อหน่วยปริมาตร

ในเทอมสุดท้ายทางขวามือของกฏข้อที่ 1 ทางเทอร์โมไดนามิคส์ คือ พลังงานสะสมซึ่งเป็นการสะสมพลังงานในรูปทางต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น พลังงานความร้อนสัมผัส ความร้อนแฝง พลังงานในรูปอื่นๆ เช่น พลังงานจลน์ พลังงานศักย์ รวมไปถึงพลังงานทางเคมี ได้แก่ พลังงานพันธะ เป็นต้น เขียนในรูปสมการได้ดังนี้

.....8)

จากนั้นทำการรวมเอาสมการที่ 2, 6,7 และ 8 เข้าด้วยกันเราก็จะได้

.....9)

ทีนี้ก็ใกล้กับสมการที่ 1 แล้ว จัดรูปเสียหน่อยโดยอาศัยกฏของฟูริเยร์ (Fourier's law) ซึ่งเราจะทำการแทนค่า q ด้วยเทอมอนุพันธ์ของอุณหภูมิ ซึ่งสภาพการนำความร้อนภายใต้ทิศ x,y และ z แสดงในสมการที่ 10 ถึง 12

.....10)

.....11)

.....12)

จากสมการที่ 10,11,12 เราจะเห็นว่า ค่า k มีค่าคงที่ ซึ่งในความเ็ป็้นจริงแล้ว วัสดุอาจจะมีค่าการนำความร้อนไม่เท่ากันทั้งเนื้อทั้งก้อนก็ได้ โดยเราสามารถแสดงค่าการนำความร้อนของวัสดุก้อนหนึ่งๆ ในรูปเมตริกซ์ได้คือ

.....13)

แต่ในที่นี้สมมติว่าวัสดุเป็นวัสดุที่มีค่า k คงที่ตลอด (Isotropic material)แทนค่าq_x , q_yและ q_z ภายในเครื่องหมายเคิร์ล เราจะได้

ทำให้อยู่ในรูปง่ายจะได้

.....15)

ทำการหารตลอดด้วย dx dy dz จะได้

.....16)

จัดรูปสมการเสียใหม่ด้วยการเอา k หารตลอด

.....17)

และแปลงสมการที่ 17 จะได้ค่าการกระจายความร้อนที่เป็นผลจากความหนาแน่น, ความจุความร้อน และค่าการนำความร้อน

.....18)

ทีนี้ก็จัดรูปให้ง่ายเข้าก็จะได้ดั่งสมการที่ 1

.....19)