Food science, food industrial technology on blog

ต่อเนื่องจากตอนที่แล้วที่ผมนำเสนอการแก้ปัญหาการนำความร้อนในสภาวะสม่ำเสมอด้วยการใช้ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ ปรากฏการณ์การนำความร้อนในสภาวะสม่ำเสมอนั้นจะอยู่ในรูปของนสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบอิลิปติค ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาก็ไม่ได้ยุ่งยากอะไร แต่ในขั้นตอนนี้ครับในสภาวะที่ไม่สม่ำเสมอ(unsteady state หรือ transient)เป็นรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลิคที่ยากกว่านิดหน่อย และที่น่าสนใจคือ ในงานวิจัยทางด้านการถ่ายเทความร้อนที่แปะหัวว่า mathematical model ใดๆ มีรูปแบบในเิชิงนี้เกินกว่า 80%เลยนะครับ

สมการการถ่ายเทความร้อนในสภาวะไม่สม่ำเสมอ?

รูปแบบทั่วไปของสมการพาราโบลิคที่เกี่ยวข้องกับหลักการถ่ายเทความร้อนที่ผมคิดว่าหลายๆคน คงจะเคยเจอในงานวิจัยทั้งในและจากต่างประเทศนะครับ ผมก็จะดีไลฟ์สมการแบบง่ายๆ

เมื่อ

เราก็ย้ายค่าคงที่สามตัวมาอยู่ในทางขวามือ ก็จะลดรูปสมการที่ 2 ให้กลายเป็น

ในสมการข้างต้นนี้เป็นสมการในแบบมิติเดียวเท่านั้นเองคือในแกน x ซึ่งสมการที่ 3 ก็คือสมการการถ่ายนำความร้อนในสภาวะไม่คงตัวนั่นเอง (transient conductive heat transfer) และบางทีเราก็อาจจะเห็นรูปแบบการเขียนสมการที่ 3 แบบนี้

และสำหรับงานแบบจำลองการถ่ายเทมวลสารเราจะพบในรูปสมการประมาณนี้

เราจะเห็นว่ารูปแบบสมการที่ 1 และ 5 ไม่ได้แตกต่างกันไปเลย ดังนั้นด้วยรูปแบบสมการพาราโบลิคเหมือนกัน ดังนั้นถ้าเรามีความเข้าใจดีในการใช้ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ ก็จะทำให้การแก้ปัญหาการถ่ายเทความร้อน และถ่ายเทมวลสาร ทำได้สบายๆอยู่แล้วใช่ไหมครับ

ตัวอย่างงานวิจัยที่ใช้ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์เพื่อแก้ปัญหาสมการพาราโบลิค

โอ้วว.. มีมากมายเยอะแยะครับ มีทั้งที่ศึกษาการถ่ายเทมวลสาร และพลังงาน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วถ้ารูปร่างของวัสดุ หรืออาหารที่เราสนใจศึกษา มันไม่ไ่ด้มีรูปทรงที่พิลึก หรือ โครงสร้างไม่วุ่นวาย การใช้ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ ก็เป็นทางเลือกที่ดีในการหาคำตอบของสิ่งที่เราสนใจ ซึ่งในตารางที่ 1 ก็จะแสดงการวิจัยที่มีการใช้งานไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ในงานเพิ่ม และลดอุณหภูมิ รวมไปถึงงานการถ่ายเทมวลสารด้วย

ตารางที่ 1 ตัวอย่างหัวเรื่องที่มีการใช้งานไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์

กระบวนการ	ผู้วิจัย	แบบจำลองความร้อน	แบบจำลองมวลสาร	มิติ	ชนิดตัวอย่าง
การทำแห้ง	Rovedo et al (1995)			1	มันฝรั่ง
	Wang and Brennan (1995)			1	อาหารแข็ง
	Erdogdu et al (1998a, b, 1999)			2	กุ้ง
การให้ความร้อน	Pan et al. (2000)			1	เนื้อแฮมเบอเกอร์
	Akterian (1995, 1997)			1	เห็ด
	Coulter et al. (1995) Davey and Pham (1997)			1	ซากสุกร ซากโค
	Chau and Gaffney (1990)			1	มะเขือเทศ
การทำเย็น	Chavez et al. (1997)			1	มันฝรั่ง
	Chuntranuluck et al. (1998a, b, c)			1	หลายประเภท
	Bellara et al. (2000)			2	หลายประเภท

สนใจที่จะเรียนรู้กันแล้วหรือยังครับ แต่ก่อนอื่นนั้นเราต้องทำความเข้าใจก่อนว่า วิธีในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธุ์ย่อยในแบบพาราโบลิคนั้น มีหลากหลายวิธีในการหาผลเฉลย ซึ่งในบทความนี้นะครับ ผมจะนำเสนอวิธีการหาผลเฉลยด้วยระเบียบวิธีโดยลำดับ หรือ Explicit method

ที่มาที่ไปของระเบียบวิธีโดยลำดับ

สำหรับวิธีนี้มันมีที่มาจากการการทำ forward difference อันเป็นพื้นฐานของระเบียบวิธีทางตัวเลข รอบตำแหน่งที่เราสนใจ โดยเริ่มจากการแปลงสมการที่ 3 ให้อยู่ในรูปของสมการเชิงตัวเลขก่อนนะครับ (คิดว่าผู้อ่านน่าจะตามทันนะครับ เพราะผมเคยแปลงให้ชมแล้วจากบทความก่อนหน้านี้)

เทอมทางขวามือสุด ก็คือ ค่าคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ ซึ่งตอนนี้ยังไม่ต้องไปสนใจมันนะครับ จากสมการที่6 เราก็จัดการย้าย t จากฝั่งซ้ายมือไปทางขวาซะ ก็จะได้

และ

แล้วก็ย้าย T_i ในเทอมซ้ายมือไปข้างขวานะครับ

แทนตัวแปรในสมการ 8 ลงไปใน 9 ก็จะได้

และจากนั้นให้ทำสมการที่ 10 ให้อยู่ในรูปง่ายที่สุดด้วยการแยกตัวแปร (พื้นฐานคณิตศาสตร์เลยนะครับ) จะได้เป็นสมการที่ 11 และแปลงต่อเป็นสมการที่12 เพื่อให้สะดวกต่อการเขียนโปรแกรมซึ่งใช้งานได้แล้ว...ก็ลองดีไลฟ์ดูนะครับ ไม่ยากหรอก

และ...

สมการที่ 12 นี่แหละครับ ที่เราจะเอาไปใช้เพื่อหาผลเฉลย

รู้จักสมการ แล้วจะแก้ปัญหาอย่างไร?

จากสมการที่12 ในการหาผลเฉลยนั้น ให้ดูภาพด้านล่างประกอบนะครับ ผมมั่นใจว่าถ้าท่านผู้อ่านทำความเข้าใจรูปภาพนี้ได้ ก็ไม่มีอะไรยากแล้ว

ในการหาผลเฉลยนั้นเราจะทำการสุ่มค่าในรอบที่(อ่านว่า เตา) เพื่อให้ได้ค่ามาค่าหนึ่งในรอบที่ +1 ดังนั้นในการหาผลเฉลยเราจึงจำเป็นต้องใช้การทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนค่าลู่เข้าหาค่าใดค่าหนึ่ง และผมเชื่อว่าต้องมีคนงงว่าค่าอะไรละเราถึงจะหยุดการทำซ้ำ ในจุดนี้เราในการเขียนโปรแกรมถ้าท่านเคยมีเขียนโปรแกรมประมาณ... Gauss-Siedel iteration ซึ่งจะมีการกำหนดตัวแปรพิเศษขึ้นมาค่าหนึ่งที่เราเรียกว่า Convergence criterion ซึ่งในส่วนนี้เราจะเป็นคนกำหนดเอง ถ้าเรากำหนดให้่ค่า Convergence criterion มีค่าน้อย การลู่เข้าก็อาจจะช้าลงด้วย หรือ ถ้ากำหนดค่า Convergence criterion หยาบๆ ผลเฉลยที่ได้ก็จะมีความคลาดเคลื่อนสูง สำหรับตัวแปรที่เอาไว้เปรียบเทียบกับค่า Convergence criterion จะมีสูตรทั่วไปคือ

โดยจะหยุดการทำซ้ำเมื่อ SCC(จากการคำนวณหรือโปรแกรม) < CC (เรากำหนด) สำหรับการหาผลเฉลย ผมจะแจกซอร์สโค้ดที่คอมไพล์บนเทอร์โบปาสคาลให้อ่านประกอบนะครับ เหมือนเดิมครับให้ล็อกอินก่อนแล้วปุ่มมันจะโชว์เอง

สำหรับท่านที่ read-only ก็ทำความเข้าใจตัวอย่างนี้พร้อมกันไปด้วยก็แล้วกันนะครับ

และท้ายที่สุดในกรณีที่เราต้องการจะกำหนดให้การถ่ายเทความร้อนลู่เข้าภายในเวลาเท่าไหร่ก็ตาม แต่ เราก็สามารถที่จะเพิ่มสมการตัวนี้ลงไปในโปรแกรม โดยสมมติว่าถ้าคำนวณจริงๆลู่เข้าสู่ผลเฉลยในรอบที่ 55 แต่เราถ้าเราตั้งค่าเวลาลู่เข้าไว้แค่ 30รอบ(_ss) มันจะจบการคำนวณไว้ที่ 30รอบ ซึ่งเวลาโดยรวมสูงสุด(t_ss)จะเท่าไหร่ก็ขึ้นกับช่วงความกว้างเวลาด้วย(t) ดังสมการที่ 14

ได้เวลาคำนวณแล้ว!!!

ตัวอย่างนี้ผมนั่งเทียนนึกเอาพวกค่าการกระจายความร้อนกับค่าการนำความร้อนก็มั่วเอา... เพราะจะได้เห็นภาพแบบจะจะ สมมติค่าการกระจายความร้อนเท่ากับ 1x10^-5 m²/s ค่าการนำความร้อน0.5 W/mK

จากโจทย์ข้อนี้นะครับทำให้เราทราบค่าขอบซ้ายขวาคือ

x(0) = 35 และ x(20) = 65

เมื่อเราพิจารณาสมการที่ 12 ในเทอมขวาสุด ค่าที่จะทำให้ สมการนี้เป็นจริงได้ จะต้องเท่ากับหรือมากกว่า 1/2 (ลองแทนค่าอื่นที่น้อยกว่า 1/2 เอาเองนะครับ แล้วจะพบว่าผลเฉลยไม่ลู่เข้า...) แล้วทีนี้ผมจะสมมติค่า ในโจทย์ข้อนี้เป็น 1/2 เพื่อจะได้แทนค่าดูนะครับ เพราะมันตัดเทอมสุดท้ายแล้วตัดง่ายดี

ในการประกาศตัวแปร ผมกำหนดค่า CC ไว้ที่ 0.001 ก็ลองศึกษาโค้ดกันนะครับ ซึ่งถ้าเราต้องการให้ระยะ mesh size เล็กกว่านี้ก็ไปเปลี่ยนเพิ่มจำนวนปมลงไปโดยแก้ที่ตัวแปร n ดูก่อน (แล้วก็ตามเพิ่มตัวแปรที่เกี่ยวข้องลงไปอีกนิดหน่อยด้วยนะครับ) ซึ่งโดยภาพรวมผมพยายามเขียนรายละเอียดต่างๆไว้ในนั้นแล้ว

หัวใจสำคัญของโปรแกรมอยู่ที่ 2 บรรทัดนี้

ผลการรันโปรแกรมหาผลเฉลยแบบจำลองการถ่ายเทความร้อนในสภาวะไม่สม่ำ่ำเสมอด้วยระเบียบวิธีโดยลำดับ

คอลัมน์ที่1 คือ รอบที่ในการทำซ้ำ ในคอลัมน์ที่ 2คือ เวลาที่ผ่านไปโดย step ครั้งละ 0.250s คอลัมน์ที่3,4 และ5 ก็คืออุณหภูมิของปมตรงกลางทั้งสามปมตามลำดับ และคอลัมน์สุดท้ายคือ heat flux

เป็นยังไงบ้างครับ กับบทความนี้ ถึงแม้ว่ามันจะยาวไปนิด แต่ผมก็อยากให้ผู้อ่าน หรือน้องนิสิตไม่ว่าในสายวิศวกรรม หรือ วิทยาศาสตร์ก็ตาม สามารถที่จะอ่านและทำความเข้าใจตามตัวอย่างได้โดยง่ายๆ แล้วจะเข้าใจครับว่า ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ไม่ใช่เรื่องยากเลย...

เอกสารอ้างอิงจากตารางที่ 1

Rovedo, C. O., Suarez, C., & Viollaz, P. E. (1995). Drying of foods: evaluation of a drying model. Journal of Food Engineering, 26, 1– 12.

Wang, N., & Brennan, J. G. (1995). A mathematical model of simultaneous heat and moisture transfer during drying of potato. Journal of Food Engineering, 24, 47–60.

Erdogdu, F., Balaban, M. O., & Chau, K. V. (1999). Mathematical model to predict yield loss of medium and large tiger shrimp (Penaeus monodon) during cooking. Journal of Food Process
Engineering, 22, 383–394.

Evans, J., Russell, S., & James, S. (1996). Chilling of recipe dish meals to meet cook-chill guidelines. International Journal of Refrigeration, 19, 79–86.

Pan, Z., Singh, R. P., & Rumsey, T. R. (2000). Predictive modelling of contact-heating process for cooking a hamburger patty. Journal of Food Engineering, 46, 9–19.

Akterian, S. G. (1995). Numerical simulation of unsteady heat transfer in canned mushrooms in brine during sterilisation processes. Journal of Food Engineering, 25, 45–53.

Akterian, S. G. (1997). Control strategy using functions of sensitivity for thermal processing of sausages. Journal of Food Engineering, 31, 449–455.

Coulter, S., Pham, Q. T., McNeil, I., & McPhail, N. G. (1995). Geometry, cooling rates and weight losses during pig chilling. International Journal of Refrigeration, 18, 456–464.

Davey, L. M., & Pham, Q. T. (1997). Predicting the dynamic product heat load and weight loss during beef chilling using a multiregion finite difference approach. International Journal of Refrigeration, 20, 470–482.

Chau, K. V., & Gaffney, J. J. (1990). A finite difference model for heat and mass transfer in products with internal heat generation and transpiration. Journal of Food Science, 55, 484–487.

Chavez, M. S., Luna, J. A., & Garrote, R. L. (1997). A mathematical model to describe potato chemical (NaOH) peeling. Energy and mass transfer model solution. Journal of Food Engineering, 32,
209–223.

Chuntranuluck, S., Wells, C. M., & Cleland, A. C. (1998a). Prediction of chilling times of foods in situations where evaporative cooling is significant—part 1. Method development. Journal of Food
Engineering, 37, 111–125.

Bellara, S. R., McFarlane, C. M., Thomas, C. R., & Fryer, P. J. (2000). The growth of Escherichia coli in a food simulant during conduction cooling: combining engineering and microbiological modelling. Chemical Engineering Science, 55, 6085– 6095.