หัวข้อนี้เป็นการอาศัยหลักคณิตศาสตร์ขั้นสูงมาช่วยในการแก้ปัญหาการถ่ายโอนความร้อน ซึ่งต้องอาศัยการปูพื้นฐานทางด้านระเบียบวิธีทางตัวเลขมาสักหน่อยนะครับ เพื่อจะได้ไม่งงเพราะถ้าอยู่ๆมาจับเลยรับรองว่าเดี้ยงครับ ปัญหาเกี่ยวกับการถ่ายโอนความร้อนส่วนมากแล้วมักอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง ซึ่งสามารถจำแนกรูปแบบของสมการออกเป็น 3 แบบคือ

1.สมการพาราโบลิค (Parabolic equation)

มีรูปแบบสมการทั่วไปคือ

......1)

สำหรับตัวอย่างสมการพาราโบลิคได้แก่ปรากฏการณ์ของการถ่ายเทความร้อนในโลหะแท่งยาวที่ผันแปรตามเวลาที่เปลี่ยนไป

......2)

เมื่อ k คือค่าการนำความร้อนของแท่งโลหะ u คืออุณหภูมิที่ผันแปร x คือ ตำแหน่งของระยะตามแกน x ใดๆ และ tคือ เวลาใดๆ

2.สมการอีลิปติค (Elliptic equation)

มีรูปแบบสมการทั่วไปคือ

......3)

สมการพาราโบลิคที่มีชื่อเสียงคือ สมการลาปลาซ (Laplace's equation) ซึ่งมีรูปแบบดังสมการที่ 3 และสมการของปัวส์ซงในสมการที่ 4

......4)

3.สมการไฮเปอร์โบลิค (hyperbolic equation)

มีรูปแบบสมการทั่วไปคือ

......5)

ตัวอย่างของสมการไฮเปอร์โบลิค คือ สมการคลื่น (Wave equation) ดังสมการที่ 6

......6)

เมื่อ คือ ค่าความตึงของระบบเชือก u คือ การกวาดตัวของเชือก ในเวลา t ในแนวแกน x

การแก้ปัญหา

ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทั้งสามระบบ มีลำดับการแก้สมการดังนี้

1. จำแนกตัวแปรต้น และตัวแปรตาม

2. เรียงลำดับอนุพันธ์

3. ทำสมการให้อยู่ในรูปง่ายขึ้น โดยพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมอนุพันธ์ที่มีอันดับสูงสุด นำสัมประสิทธิ์ไปหารสมการตลอด แล้วจัดรูปให้ง่ายขึ้น

4. กำหนดสภาวะเงื่อนไข และค่าเริ่มต้น

สำหรับการแก้สมการนั้นการเลือกใช้ระเบียบวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ จะต้องแปลงระบบให้อยู่ในรูปของเมตริกซ์เพื่อความสะดวกในการหาผลเฉลย โดยในรูปที่ 1 นี้เป็นรูปแบบของการเลือกใช้ระเบียบวิธีแก้ ซึ่งมีแบ่งย่อยลงไปอีก

รูปที่ 1 รูปแบบการหาผลเฉลยของระเบียบวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์

ทบทวนอนุกรมเทย์เลอร์

สำหรับการแก้สมการด้วยระเบียบวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ แสดงในรูปของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F (x,y) เมื่อ x = x₀ และ y = y₀

......7)

ถ้า F (x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในเทอมขวามือของสมการ 7 ก็สามารถทำการประมาณค่า ได้่ ต้องเล็กพอ ซึ่งการประมาณค่าโดยใช้ การกระจายตัวของอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน F (x,y) คร่อม x₀ ดังรูปแบบการกระจายคร่อม x₀ ได้ทั้งในแบบ forword และ backward ดังนี้

......8)

......9)

จากสมการที่ 8 และ 9 เราสามารถแปลงให้อยู่ในรูปการประมาณค่าไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ในแบบของ forward และ backward เป็น

......10)

......11)

โดยเทอมท้ายสุดคือเทอมของค่าความคลาดเคลื่อนเนื่องจากการประมาณค่า

และเมื่อนำเอาสมการที่ 9 ลบสมการที่ 8 ก็จะได้การประมาณค่าแบบ central difference

......12)

สำหรับในระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองเมื่อมองดูระบบแล้วการใช้วิธีคณิตศาสตร์ธรรมดา จะหา่ค่าผลเฉลยได้ยากลำบากมากดังนั้นการใช้ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) จึงมีบทบาทในการหาผลเฉลย

ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับการหาผลเฉลยของสมการพาราโบลิค

ตัวอย่างปัญหาทางความร้อนที่อยู่ในรูปของสมการพาราโบลิคที่ง่ายต่อการอธิบายได้แก่ การถ่ายเทความร้อนของแท่งโลหะภายใต้สภาวะไม่คงที่ โดยตัวอย่างที่ยกมานี้เป็นการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่ตำแหน่งต่างๆของแท่งโลหะ ที่เวลาใดๆ

รูปที่ 2 การถ่ายเทความร้อนในแท่งโลหะในมิติเดียว

จากรูป กำหนดให้โลหะมีค่าการนำความร้อนเท่ากับ k ค่าความจุความร้อนเท่ากับ c ความหนาแน่นเท่ากับ ก็จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของปัญหาทางความร้อน โดยอาศัยกฏเทอร์โมไดนามิคส์ข้อที่ 1

จากสมการที่ 13 เขียนให้อยู่ในรูปสมการจะได้

......14)

......15)

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการถ่ายเทความร้อนแบบพาราโบลิคนี้คือ

......16)

หรือ

......17)

เมื่อ

......18)

ในสมการที่ 18 ก็คืออัตราการแผ่ความร้อน ทีนี้ในการแก้สมการที่ 17 เราจะอาศัยระเบียบเชิงตัวเลขโดยมีวิธีในการแก้สมการดังนี้คือ

1. วิธีโดยตรง หรือ วิธีตามลำดับ (Explicit method)

วิธีนี้เป็นวิธีที่แทนที่สมการ 17 ในเทอมทางซ้ายมือด้วย forward difference และประมาณค่าเทอมทางขวามือด้วย central difference และจำเป็นต้องกำหนดจุดปม(node)ระยะทาง ดังรูปที่ 3

รูปที่ 3 รูปประกอบการแก้ปัญหาแบบตามลำดับ

จากสมการที่ 17 และรูปที่ 2, 3 เราสามารถระบุค่าขอบ และสภาวะเงื่อนไขได้ดังนี้

สมการเชิงตัวเลขเมื่อแปลงเป็นวิธีตามลำดับดังที่กล่าวข้างต้นนี้คือ

......21)

โดยที่

......22)

ในสมการที่ 21 มีเทอมของค่าความคลาดเคลื่อนซึ่งไม่ได้แสดงไว้ด้วยคือ 0 [ ,()²] และสามารถจัดรูปของสมการที่ 21 ให้อยู่ในรูปของ

......23)

และ

......24)

เมื่อ n คือรอบการคำนวณเริ่มตั้งแต่ 0,1,2 .... และ i คือ ตำแหน่งของปมในแนวแกน x มีค่าตั้งแต่ 1,2,3 ... M-1 เมื่อ M คือจำนวนส่วนของระบบ (Mesh size)

ในการหาผลเฉลยด้วยวิธีโดยตรง หรือวิธีตามลำดับ เราจะไม่ทราบค่าของ ตัวเดียว โดยอธิบายได้โดยใช้แผนภาพประกอบดังรูปที่ 4

รูปที่ 4 แผนภาพอธิบายกลไกการหาผลเฉลยด้วยวิธีโดยลำดับเมื่อ n คือรอบการคำนวณ

สำหรับการคำนวณในรอบที่่ n +1 สามารถเริ่มจากการคำนวณโดยใช้ข้อมูลในรอบ n วิธีนี้จึงง่ายตรงที่เรามีตัวไม่ทราบค่า 1 ตัวในแต่ละรอบของการคำนวณ แต่บางครั้งการผลเฉลยกลับหาค่าไม่ได้ เนื่องจากมีการลู่ออก (diverge) ของผลเฉลย ไม่ลู่เข้าสู๋ผลเฉลย สังเกตในสมการที่ 21 จะพบว่าเราไม่สามารถเลือกใช้ และ ได้อย่างอิสระ เนื่องจากเงื่อนไขในสมการที่ 24 คือ

......25)

ซึ่งการกำหนดค่า ลงไปบางค่า เราจะไม่สามารถหาผลเฉลยได้ ดังนั้นวิธีที่ดีที่สุดในการเลือกกำหนดค่า ควรเลือกให้มีค่าน้อยๆ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาด แต่การคำนวณก็เพิ่มขึ้น ด้วยเนื่องจากค่า สอดคล้องกับ ในเชิงกำลังสอง

2. วิธีโดยนัย (Implicit method)

เพื่อหลีกเลี่ยงการลู่ออกชองผลเฉลยของวิธีโดยลำดับ เนื่องจากการใช้ค่า เราก็เริ่มต้นการแทนค่าในสมการพาราโบลิคทั่วไป โดยแทนเทอมทางซ้ายมือด้วยการประมาณค่า backward difference และ forward difference และประมาณค่าเทอมทางขวามือด้วย central difference

......26)

จะได้

......27)

โดยค่าความคลาดเคลื่อนเ่ท่ากับ 0 [ ,()²]ในวิธีนี้เราจะทราบค่าเริ่มต้นเพียงค่าเดียว และค่าไม่ทราบอีก 3 ปมดังรูปที่ 5

รูปที่ 5 แผนภาพอธิบายกลไกการหาผลเฉลยด้วยวิธีโดยนัยเมื่อ n คือรอบการคำนวณ

วิธีนี้ไม่มีข้อจำกัดในการเลือก และ แต่การใช้ และ ที่ใหญ่เกินไปจะทำให้ผลเฉลยของสมการลู่เข้าช้ากว่าการใช้ค่าน้อยๆ

3. วิธีแครงก์-นิโคลสัน (Crank-Nicholson method)

วิธีนี้เป็นวิธีที่ให้ค่าความแม่นยำในด้านของเวลา และระยะทางเป็นอันดับสอง 0 [² ,()²] โดยหลักการของวิธีนี้คือใช้ค่าเฉลี่ยระหว่างการประมาณค่าแบบ forward difference และ backward difference ร่วมกันนั่นเองดัง จากสมการที่ 26 ซึ่งเป็นสมการทั่วไปของสมการพาราโบลิคเมื่อใช้วิธีแครงก์นิโคลสันจะได้

......28)

สังเกตว่าเทอมขวามือยังเป็นการใช้การประมาณค่าแบบ central difference ขณะที่เทอมซ้ายมือเป็นการใช้ค่าเฉลี่ยของทั้ง forward difference และ backward difference จากสมการที่ 28 เขียนให้อยู่ในรูปง่ายขึ้นจะได้

......29)

รูปที่ 6 แผนภาพอธิบายกลไกการหาผลเฉลยด้วยวิธีโดยนัยเมื่อ n คือรอบการคำนวณ

เมื่อเปรียบเทียบทั้งสามวิธีในการแก้สมการพาราโบลิคด้วยระเบียบวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์แล้ว พบว่าวิธีที่ให้ค่าความแม่นยำสูงสุดคือ วิธีแครงก์-นิโคลสัน

ซึ่งใช้การประมาณค่าทั้งจากการกระจายภายในเทอมระยะทางทั้ง forward และ backward difference ซึ่งสามารถกำหนดค่า และ ได้ไม่มีกำหนด สรุปไว้ในตารางที่ 1

ตารางที่ 1 เปรียบเทียบวิธีแก้สมการพาราโบลิค

วิธีแก้สมการ	การประมาณค่าในเทอมระยะทาง	อันดับความแม่นยำ	ข้อจำกัด ในด้านคงตัวลู่เข้า *
วิธีตามลำดับ	forward difference	0 [ ,()2]	r น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1/2
วิธีโดยนัย	backward difference	0 [ ,()2]	ไม่จำกัด
วิธีแครงก์ - นิโคลสัน	forward difference + backward difference	0 [2 ,()2]	ไม่จำกัด>

* ค่า r คิดจากสมการที่ 24